Einführung
In der Kombinatorik gibt es zwei grundlegende Konzepte: Kombinationen und Permutationen. Diese unterscheiden sich in der Frage, ob die Reihenfolge der Elemente wichtig ist oder nicht.
Fakultäten
Die Fakultät (n!) ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n. Sie wird häufig in Kombinatorik-Formeln verwendet.
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1
Kombinationen (nCr)
Eine Kombination ist eine Auswahl von Elementen, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt. Die Formel lautet:
nCr = \( \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \)
Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Bücher aus einem Regal mit 5 Büchern auszuwählen?
Permutationen (nPr)
Eine Permutation ist eine Anordnung von Elementen, bei der die Reihenfolge wichtig ist. Die Formel lautet:
nPr = \( \dfrac{n!}{(n-r)!} \)
Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Bücher aus einem Regal mit 5 Büchern in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen?
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient \( \binom{n}{r} \) wird verwendet, um die Anzahl der Kombinationen zu berechnen. Er wird wie folgt definiert:
\( \binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \)
Vergleich von Kombinationen und Permutationen
| Aspekt | Kombinationen (nCr) | Permutationen (nPr) |
|---|---|---|
| Reihenfolge | Nicht wichtig | Wichtig |
| Beispiel | Auswahl von Personen für ein Team | Anordnung von Büchern in einem Regal |
Vergleich von Kombinationen und Permutationen
| Mit Reihenfolge | Ohne Reihenfolge | |
|---|---|---|
| Mit Zurücklegen | nk | nk |
| Ohne Zurücklegen | nPr = \( \dfrac{n!}{(n-r)!} \) | nCr = \( \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \) |
Anwendungen der Kombinatorik
- Wahrscheinlichkeitsrechnung
- Optimierungsprobleme
- Kryptographie
- Spiele und Puzzles