Ablauf einer Kurvendiskussion
- Definitionsbereich bestimmen: Prüfen, für welche Werte die Funktion definiert ist, z. B. durch Analyse von Brüchen oder Wurzeln. Beispiel:
f(x) = 1/x, der Definitionsbereich ist x ≠ 0.
- Symmetrie überprüfen: Prüfen, ob die Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist:
- Achsensymmetrie: f(-x) = f(x).
- Punktsymmetrie: f(-x) = -f(x).
- Nullstellen berechnen: Setze f(x) = 0 und löse nach x.
- Ableitungen berechnen: Berechne die erste und zweite Ableitung:
- f'(x): beschreibt die Steigung.
- f''(x): beschreibt die Krümmung.
- Extrema bestimmen: Finde kritische Punkte, indem f'(x) = 0 gelöst wird. Bestimme mit f''(x), ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt.
- Wendepunkte und Krümmung: Setze f''(x) = 0 und prüfe mit f'''(x) das Verhalten.
- Verhalten an den Grenzen: Berechne lim(x → ∞) f(x) und lim(x → -∞) f(x), um das Verhalten zu analysieren.
- Monotonieverhalten: Bestimme Intervalle, in denen f(x) steigt oder fällt, durch Analyse von f'(x).
- Graph skizzieren: Zeichne den Graphen basierend auf den Ergebnissen.