Kapitel
Allgemein
Extremwertprobleme sind ein zentraler Bestandteil der Analysis. Dabei geht es darum, eine Funktion so zu optimieren, dass ein Maximum oder Minimum unter bestimmten Bedingungen gefunden wird.
Typische Vorgehensweise:
- Hauptbedingung aufstellen: Diese beschreibt die Größe, die optimiert werden soll.
- Nebenbedingung aufstellen: Diese beschreibt die Einschränkung durch begrenzte Ressourcen.
- Nebenbedingung umstellen und in die Hauptbedingung einsetzen, um die Zielfunktion zu erhalten.
- Ableitung berechnen und Nullstellen bestimmen.
- Überprüfung der Extrema mit der zweiten Ableitung oder Randwertanalyse.
Beispielaufgabe mit Lösung
Problem: Ein Rechteck mit festem Umfang von 20 cm soll eine maximale Fläche haben. Bestimme die Seitenlängen.
Lösung:
- Zielfunktion: Fläche \( A = x \cdot y \)
- Nebenbedingung: \( 2x + 2y = 20 \Rightarrow y = 10 - x \)
- Einsetzen: \( A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2 \)
- Ableitung: \( A'(x) = 10 - 2x \), Nullstellen: \( 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5 \)
- Zweite Ableitung: \( A''(x) = -2 \) (negativ, daher Maximum)
- Antwort: Das Rechteck hat eine maximale Fläche bei \( x = 5 \) und \( y = 5 \), also ein Quadrat.
Aufgaben
Versuche die folgenden Extremwertprobleme selbst zu lösen:
- Ein Garten soll mit einem Zaun von 30 m Länge eingefasst werden. Welche Abmessungen ergeben die größte Fläche?
- Ein offener Zylinder mit Volumen 500 cm³ soll so gebaut werden, dass die Materialkosten minimal sind. Bestimme den Radius und die Höhe.
- Ein Plakat mit einer festen Fläche von 1000 cm² soll so gestaltet werden, dass die bedruckbare Fläche maximiert wird. Wie groß sollten die Ränder sein?