Was sind Weg-Zeit-Gesetze?
Weg-Zeit-Gesetze beschreiben, wie sich die Position eines Objekts in Abhängigkeit von der Zeit verändert. Sie stellen eine mathematische Beziehung zwischen dem Weg \(s(t)\) und der Zeit \(t\) dar. Durch Ableitungen des Weg-Zeit-Gesetzes können weitere Größen wie Geschwindigkeit \(v(t)\) und Beschleunigung \(a(t)\) bestimmt werden:
- \(v(t) = \frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t}\)
- \(a(t) = \frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}\)
Aufgabe
Gegeben ist das Weg-Zeit-Gesetz:
\[ s(t) = 5t^2 + 3t + 8 \\mathrm{m}. \]
Bestimme das zugehörige Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz \(v(t)\) und das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz \(a(t)\). Stelle die Ergebnisse mit korrekten Einheiten dar.
Lösung
1. Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:
Die Geschwindigkeit \(v(t)\) ergibt sich als erste Ableitung von \(s(t)\):
\[ v(t) = \frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t} = 10t + 3 \\mathrm{m/s}. \]
2. Beschleunigungs-Zeit-Gesetz:
Die Beschleunigung \(a(t)\) ergibt sich als Ableitung von \(v(t)\):
\[ a(t) = \frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} = 10 \\mathrm{m/s^2}. \]
Tipps zur Lösung
Um solche Aufgaben zu lösen, ist es wichtig, die Bedeutung der Ableitungen in der Kinematik zu verstehen. Jede Ableitung gibt eine neue physikalische Größe an:
- Die erste Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an (Veränderung der Position pro Zeiteinheit).
- Die zweite Ableitung gibt die Beschleunigung an (Veränderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit).