Definition des Begriffs Ableitung
Die Ableitung einer Funktion \(f(x)\) an einer Stelle \(x_0\) ist definiert als der Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn die Änderung der Eingabegröße gegen null strebt:
\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}. \]
Dieser Wert entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt \((x_0, f(x_0))\).
Die Ableitungsregeln
| Regelname | Formel |
|---|---|
| Konstantenregel | \(c' = 0\) |
| Faktorregel | \((c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)\) |
| Potenzregel | \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\) |
| Summen-/Differenzregel | \((f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)\) |
| Produktregel | \((f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\) |
| Quotientenregel | \(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\) |
| Kettenregel | \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) |
Ableitungen der trigonometrischen Funktionen
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) |
| \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) |
| \(\tan(x)\) | \(\sec^2(x)\) |
Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen
- \((e^x)' = e^x\)
- \((a^x)' = a^x \cdot \ln(a)\)
- \((\ln(x))' = \frac{1}{x}\)
Übungsaufgaben
Dieses Kapitel bietet dir eine Vielzahl an Aufgaben zu den Ableitungsregeln. Wichtig: Mathematik lässt sich am besten durch kontinuierliches Üben meistern. Je mehr du dich mit den Aufgaben beschäftigst, desto sicherer wirst du und kannst in Prüfungen bessere Ergebnisse erzielen.